صفحه اصلی

صفحه شخصی مسعود اقدسی‌فام
الگوریتمستان - آموخته‌های من از دنیای برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم
● وب‌سایت آرشیو سوالات منطقه‌ای و جهانی مسابقات برنامه‌نویسی ACM-ICPC، با امکان ارسال پاسخ و بررسی جواب.
● علاقمندان به شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی و حل سوالات الگوریتمی می‌توانند از این وب‌سایت معتبر به همراه کتاب معرفی شده جهت تمرین و آمادگی بیشتر استفاده کنند.

الگوریتمستان
بررسی مساله برج هانوی و روش‌های حل بازگشتی و غیربازگشتی آن
الگوریتمستان
آشنایی با دنباله عددی کاتالان، کاربردها و روش پیاده‌سازی آن به زبان برنامه‌نویسی ++C
الگوریتمستان
آشنایی با روش مرتب‌سازی سریع، همراه با قطعه‌کدهای نمونه به زبان برنامه‌نویسی ++C
الگوریتمستان
عناوین بخشی از مباحث پرکاربرد در سوالات مسابقات برنامه‌نویسی
الگوریتمستان
بحث در مورد ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و روش پیاده‌سازی الگوریتم پرانتزبندی بهینه آن با روش تقسیم و حل و روش برنامه‌نویسی پویا
الگوریتمستان
بررسی معمای هشت وزیر یا n وزیر و راهبرد عقبگرد برای حل مساله
الگوریتمستان
بررسی مساله حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
الگوریتمستان
آشنایی با روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا - Dynamic Programming) به عنوان یکی از روش‌های پر کاربرد طراحی الگوریتم و یافتن راه حل بهینه مسائل، و روش محاسبه دنباله فیبوناچی
الگوریتمستان
معرفی متغیرهای مرجع در زبان برنامه‌نویسی ++C و آشنایی با مهمترین کاربردهای آنها
الگوریتمستان
آشنایی با روش مرتب‌سازی ادغامی با قطعه کدهایی به زبان برنامه‌نویسی ++C
الگوریتمستان
آشنایی با قالب‌ها به عنوان یکی از امکانات متمایز ++C از C
الگوریتمستان
آشنایی با روش مرتب‌سازی درجی، همراه با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
الگوریتمستان
بحث در مورد مساله کاشی‌کاری یا فرش کردن زمین با موزاییک به روش تقسیم و حل
الگوریتمستان
آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه حاصلضرب ماتریس‌ها

»   روش برنامه‌نویسی پویا سه‌شنبه، 3 شهریور ماه 1388، ساعت 22:33

مطلبی که می‌خوانید، ویراست دوم مطلبی است که نسخه اولیه آن با عنوان "روش برنامه نویسی پویا" از طریق وب‌سایت برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و طرح پیشین وب‌سایت الگوریتمستان) منتشر شده بود.

یکی از روش‌های پرکاربرد و مشهور طراحی الگوریتم روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا - Dynamic Programming) است. این روش همچون روش تقسیم و حل (Divide and Conquer) بر پایه تقسیم مساله بر زیرمساله‌ها کار می‌کند. اما تفاوت‌های چشم‌گیری با آن دارد.

زمانی که یک مساله به دو یا چند زیرمساله تقسیم می‌شود، دو حالت ممکن است پیش بیاید:

1- داده‌های زیرمساله‌ها هیچ اشتراکی با هم نداشته و کاملا مستقل از هم هستند. نمونه چنین مواردی مرتب‌سازی آرایه‌ها با روش ادغام یا روش سریع است که داده‌ها به دو قسمت تقسیم شده و به صورت مجزا مرتب می‌شوند. در این حالت داده‌های یکی از بخش‌ها هیچ ارتباطی با داده‌های بخش دیگر نداشته و در نتیجه حاصل از  آن بخش اثری ندارند. معمولا روش تقسیم و حل برای چنین مسائلی کارآیی خوبی دارد.

2- داده‌های زیرمساله وابسته به هم بوده و یا با هم اشتراک دارند. در این حالت به اصطلاح زیرمساله‌ها هم‌پوشانی دارند. نمونه بارز چنین مسائلی محاسبه جمله nام دنباله اعداد فیبوناچی است.

 

دنباله اعداد فیبوناچی (فیبوناتچی)

دنباله اعداد فیبوناچی (Fibonacci) یکی از دنباله‌های عددی مشهور ریاضیات با تعریف بازگشتی زیر است:

 

F( n ) = F( n - 1 ) + F( n - 2 )      n > 2      ,      F( 1 ) = F( 2 ) = 1

 

محاسبه جمله nام دنباله به محاسبه دو جمله قبلی آن نیاز دارد. پس می‌توان گفت محاسبه ( F( n - 1  و ( F( n - 2 دو زیر مساله برای مساله اصلی هستند. اما در عین حال این دو زیرمساله از هم مستقل نیستند. برای محاسبه ( F( n - 1 بر اساس رابطه بالا باید داشته باشیم:

 

F( n - 1 ) = F( n - 2 ) + F( n - 3 )

 

که نشان می‌دهد خود ( F( n - 1 وابسته به ( F( n - 2 است.

اگر این مساله را به روش تقسیم و حل - که ساده‌ترین روش است - حل کنیم:

 

int fibo( int n )

{

  if( n > 2 )

  {

    return ( fibo( n - 1) + fibo( n - 2 ) );

  }

  return 1;

}

 

تابع fibo مقدار n را دریافت کرده و به صورت بازگشتی و بر اساس رابطه ذکر شده، جمله nام دنباله فیبوناچی را محاسبه می‌کند. حال درخت فراخوانی‌های بازگشتی تابع را به ازای n = 7 رسم می‌کنیم:

 

 

درخت فراخوانی بازگشتی تابع فیبوناچی

 

هر گره درخت، فراخوانی تابع را با مقدار داخل آن نشان می‌دهد. برای محاسبه جمله هفتم دنباله فیبوناچی تابع fibo به صورت ( fibo( 7 فراخوانی می‌شود، که آن هم ( fibo( 6 و ( fibo( 5 را فراخوانی می‌کند و الی آخر. همانطور که مشاهده می‌کنید، برای محاسبه این جمله، ( fibo( 7 یک بار، ( fibo( 6 یک بار، ( fibo( 5 دو بار، ( fibo( 4 سه بار، ( fibo( 3 پنج بار، ( fibo( 2 هشت بار، ( fibo( 1 پنج بار، و روی هم رفته تابع fibo بیست و پنج بار فراخوانی می‌شود.

ما خود چگونه جملات دنباله فیبوناچی را محاسبه می‌کنیم؟ ابتدا جمله اول و دوم را جمع زده و جمله سوم را محاسبه می‌کنیم. سپس با استفاده از جمله به دست آمده و جمله دوم، جمله چهارم را محاسبه می‌کنیم و همینطور ادامه می‌دهیم:

 

1  1  2( = 1 + 1 )

1  1  2  3( = 2 + 1 )

1  1  2  3  5( = 3 + 2 )

1  1  2  3  5  8( = 5 + 3 )

1  1  2  3  5  8  13( = 8 + 5 )

 

و به این ترتیب جمله هفتم دنباله تنها با پنج محاسبه ساده به دست می‌آید. در حالت کلی با استفاده از این روش تنها به n - 2 عمل جمع نیاز است که نشان از الگوریتمی با مرتبه خطی دارد. در حالی که می‌توان ثابت کرد در حالت اول تعداد کل فراخوانی‌های بازگشتی تابع از مرتبه نمایی است. دلیل اختلاف این دو عدد در این است که در حالت دوم، هر جمله دنباله فقط و فقط یک بار محاسبه می‌شود. این همان روش برنامه‌نویسی پویا است.

در برنامه‌نویسی پویا مساله به صورت جزء به کل حل می‌شود. یعنی ابتدا زیر مسائل خرد حل شده و نتیجه آنها در مکانی دخیره می‌شود. سپس به سمت زیرمسائل کلی‌تر رفته و با استفاده از داده‌های از پیش محاسبه شده، آنها نیز حل می‌شوند. در مورد دنباله فیبوناچی می‌توان نوشت:

 

int fibo( int n )

{

  int f[ MAX ], i;

  f[ 1 ] = f[ 2 ] = 1;

  for( i = 3 ; i <= n ; i++ )

  {

    f[ i ] = f[ i - 1 ] + f[ i - 2 ];

  }

  return f[ n ];

}

 

در این روش ما جملات دنباله‌ها را پس از محاسبه در یک آرایه ذخیره می‌کنیم. برای این کار به جای حرکت از کل به جزء (یعنی از n به 1، که در روش تقسیم و حل استفاده می‌شود)، از جزء به سمت کل حرکت می‌کنیم. هر جمله دنباله تنها به دو جمله قبل خود نیاز دارد، که با حرکت جزء به کل قبلا محاسبه شده‌اند و نیاز به محاسبه مجدد آنها نیست. البته این کد را می‌توان ساده‌تر کرد:

 

int fibo( int n )

{

  int i, f1, f2, f3;

  f1 = f2 = 1;

  for( i = 3 ; i <= n ; i++ )

  {

    f3 = f1 + f2;

    f1 = f2;

    f2 = f3;

  }

  return f3;

}

 

تحلیل این تابع ساده را به خود شما وا می‌گذارم.

نکته مهم این است که اگر زیرمساله‌ها هم‌پوشانی نداشته باشند روش برنامه‌نویسی پویا هیچ کمکی به ما نخواهد کرد. چرا که خاصیت اصلی این روش ذخیره داده‌هایی است که ممکن است به کرات به آنها مراجعه شود. حال اگر هیچ اشتراکی در کار نباشد، طبیعتا از هر داده تنها یک بار استفاده خواهد شد.

برنامه‌نویسی پویا برای طراحی الگوریتم‌های محاسبه حالت‌های بهینه مسائل نیز کاربرد زیادی دارد. به عنوان مثال در یافتن کوتاهترین مسیر بین دو نقطه، محاسبه بهینه‌ترین حالت ضرب زنجیری ماتریس‌ها، درخت جستجوی بهینه، مساله فروشنده دوره‌گرد، محاسبه ضرب چندجمله‌ای‌ها، مساله کوله‌پشتی صفر و یک، و چندین مساله دیگر، از برنامه‌نویسی پویا استفاده می‌شود. شرط اساسی امکان استفاده از این روش برای محاسبه حالت بهینه به اصل بهینگی مشهور است.

اصل بهینگی: اصل بهینگی یعنی حل مساله به صورت بهینه، حاوی حل بهینه تمامی زیرمسائل آن نیز باشد.

به عبارت دیگر، مساله باید به گونه‌ای باشد که با یافتن حل بهینه آن، حل بهینه همه زیرمساله‌ها نیز به دست آمده باشد. به عنوان مثال، در یافتن کوتاهترین مسیر بین دو شهر، مسیر بین مبدا و هر گرهی که در مسیر بهینه وجود دارد، بهینه‌ترین مسیر بین آن دو نیز هست.

‌چاپ مطلب
نسخه قابل چاپ مشاهده نسخه قابل چاپ و ارسال به چاپگر
آمار
تعداد امتیازهای ثبت شده:  51 ،  میانگین امتیازهای ثبت شده:  4.20 از 5.00
امتیاز مطلب
1 2 3 4 5
ارسال پیام
» سروش

سه‌شنبه، 28 اردیبهشت ماه 1389، ساعت 19:58
خيلي عالي بود

» حامد

شنبه، 20 فروردین ماه 1390، ساعت 20:48
لطفا اطلاعاتی هم در مورد سری لوکا
در سایت اضافه کنید و مطالب جدید در مورد
سری فیبوناچی اضافه کنید

» هژیر

دوشنبه، 28 آذر ماه 1390، ساعت 10:56
دوست عزیز مطالبی که بر روی سایت قرار می دهید هیچ سندست علمی ندارد . خواهشا از قرار دادن این مطالب بر روی وی سایت خودداری کنید . چون چند تا از آنها را که خواندم کاملا اشتباه بودند

» مسعود اقدسی‌فام

دوشنبه، 28 آذر ماه 1390، ساعت 11:37
هژیر عزیز
خوشحال می‌شم مطالبی رو که کاملا اشتباه هستن معرفی کنید. همینطور سندهایی که بر اساس اونها این مطالب اشتباه هستن. اگه واقعا اونطور باشه حتما نسبت به اصلاحشون اقدام می‌کنم. شما اولین نفری هستید که اینطور نظری رو مطرح می‌کنید.

» مونا

چهارشنبه، 24 اسفند ماه 1390، ساعت 12:58
سلام. مطالب خوب و مفیدی رو راجع به مرتب سازی ها ارائه داده بودین. ضمن تشکر می خواستم اگه مقدوره اطلاعاتی را جع به کاربرد الگوریتم هایی مثل کوله پشتی، پویا و فروشنده دوره گرد ارائه بدین. اینکه کجاها این الگوریتم ها به کار می یان. من یه مطلبی خوندم که مثلا کوله پشتی توی سیستم عامل کاربرد داره. یا مثلا توی برش کالا. اما دقیقاً کارایی شون رو متوجه نشدم.
ممنون می شم اگه راجع به این مطالب هم اطلاعاتی درج کنید.

» سمانه

پنجشنبه، 9 آذر ماه 1391، ساعت 20:42
سلام واقعا عالی بود میشه لطف کنیدکدبرنامه ای که فاکتوریل یک عددصحیح رابوسیله حلقهforمحاسبه کند ،رابنویسید

» سید جلال

شنبه، 9 دی ماه 1391، ساعت 18:23
سلام لطفا سوالی قرار بدین که با سه روش تقسیم وغلبه و پویا و حریصانه حل بشه

» مجید

یکشنبه، 8 اردیبهشت ماه 1392، ساعت 10:51
خیلی کاربردی و عمیق بود
با تشکر

» حسن

سه‌شنبه، 14 خرداد ماه 1392، ساعت 23:02
خیلی عالی بود واقعا بدردم خورد



دوست عزیزم، لطفا قبل از ارسال پیام به موارد زیر توجه داشته باشید:

1- تا حد ممکن از حروف فارسی برای نگارش پیام خود استفاده کنید. امکان ارسال پیام لاتین و کدهای برنامه‌نویسی با چیدمان چپ به راست نیز وجود دارد.
2- به درخواست پروژه‌های آماده و موارد مشابه پاسخ داده نخواهد شد.
3- از قرار دادن هرگونه نشانی یا شماره تماس در متن پیام خودداری کنید.
4- از ارسال پیام‌های تبلیغاتی خودداری کنید.
5- از ارسال سوال و پیام غیرمرتبط با مطلب ارائه شده خودداری کنید.
6- لطفا نظر خود را در مورد مطلب ارائه شده، با ثبت امتیاز مشخص نمایید.

پیشاپیش از همکاری شما سپاسگذارم.


نام:  
پست الکترونیک
وب‌سایت:
متن پیام: